फलन sqrt{sin 2x} cos 2x का समाकलन कीजिए। | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \, dx$.$\sin 2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2 \cos 2x \, dx = dt

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$\frac{1}{3}(\sin 2x)^{\frac{3}{2}} + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \, dx$.$\sin 2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2 \cos 2x \, dx = dt$$\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt$$I = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt$घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right) + C$$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C$$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$$I = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$$t = \sin 2x$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{3} (\sin 2x)^{\frac{3}{2}} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

फलन $\sqrt{\sin 2x} \cos 2x$ का समाकलन कीजिए।

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यदि $\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx = \log \left|e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}\right|+c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है)।

यदि $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} d x=A(1+x^2)^{\frac{3}{2}}+B(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+C$ है,तो $A+B=$

$\int x \operatorname{Tan}^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}} \, dx =$

यदि $f(x) = \sqrt{\tan x}$ और $g(x) = \sin x \cdot \cos x$ है,तो $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है)।

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